2-Diagonalize a matring m=|2 & 1 0 & 1|

Para diagonalizar a matriz , precisamos encontrar uma matriz diagonal e uma matriz de mudança de base tal que , onde é uma matriz diagonal.Uma maneira de fazer isso é encontrar os autovalores e autovetores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem o equação \( \det(m - \lambda I) = 0 \), onde é a matriz identidade. Os autovetores correspondentes são os vetores que satisfazem o sistema de equações \( (m - \lambda I)v = 0 \).Para a matriz , podemos calcular o determinante:\( \det(m - \lambda I) = \det\left(\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 - \lambda\end{array}\right) = (2 - \lambda)(1 - \lambda) \)Igualando o determinante a zero, temos:\( (2 - \lambda)(1 - \lambda) = 0 \)Portanto, os autovalores de são e .Para encontrar os autovetores correspondentes, podemos resolver o sistema de equações \( (m - \lambda I)v = 0 \) para cada valor de .Para :\( (m - 2I)v = 0 \)Isso resulta na matriz:\( \left(\begin{array}{cc}2 - 2 & 1 \\ 0 & 1 - 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right) \)Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor correspondente \( v_1 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right) \).Para :\( (m - 1I)v = 0 \)Isso resulta na matriz:\( \left(\begin{array}{cc}2 - 1 & 1 \\ 0 & 1 - 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) \)Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor correspondente \( v_2 = \left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right) \).Agora, podemos construir a matriz de mudança de base usando os autovetores como linhas:\( P = \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)E a matriz diagonal usando os autovalores como diagonais:\( D = \left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)Portanto, a matriz pode ser diagonalizada como .