Mostre que a equação x^26+x^2-320=0 possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.

Para mostrar que a equação possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa, podemos usar o Teorema das Raízes Racionais.Primeiro, vamos verificar se a equação possui raízes racionais. Para isso, vamos listar os possíveis divisores de -320, que são .Agora, vamos substituir esses valores na equação e verificar se algum deles é uma raiz.Após realizar os testes, encontramos que é uma raiz da equação, pois .Portanto, a equação possui pelo menos uma raiz real positiva, que é .Para encontrar uma raiz real negativa, podemos observar que a função \(f(x) = x^{26} + x^2 - 320\) é uma função polinomial de grau par, o que significa que ela é simétrica em relação ao eixo y. Além disso, como o coeficiente líder é positivo, a função é crescente em ambos os lados do eixo y.Portanto, a função \(f(x)\) terá uma raiz real negativa, que podemos encontrar aproximadamente por meio de uma análise gráfica ou usando métodos numéricos.Assim, concluímos que a equação possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.