Seja a transformação lincar L R^3arrow R^2 ,com L(x,y,z)=(x+y,2x+3x) Determine a) Seu núcleo b) Le injetiva Por quê?

Para resolver essa questão, vamos analisar a transformação linear L e determinar seu núcleo e se ela é injetiva.a) Núcleo da transformação L:O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor nulo. Em outras palavras, é o conjunto de todos os vetores x tal que L(x) = 0.Aplicando a transformação L, temos:L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z)Para que L(x, y, z) = 0, precisamos que ambas as coordenadas sejam zero:x + y = 02x + 3z = 0Resolvendo o sistema de equações, encontramos que o núcleo da transformação L é dado por:x = -yz = -2/3 * yPortanto, o núcleo da transformação L é o conjunto de todos os vetores da forma (-y, y, -2/3 * y), onde y é um escalar arbitrário.b) Se a transformação L é injetiva?Uma transformação linear é injetiva se cada vetor do espaço de destino é imagem de no máximo um vetor do espaço de origem. Em outras palavras, se não existem dois vetores distintos x e y tal que L(x) = L(y).Para determinar se a transformação L é injetiva, podemos verificar se o núcleo da transformação é apenas o vetor nulo. Se o núcleo for apenas o vetor nulo, então a transformação é injetiva.No caso da transformação L, o núcleo é um subespaço não trivial (contém o vetor nulo e outros vetores), o que significa que a transformação L não é injetiva.Portanto, a transformação L não é injetiva.