Exercice 1: Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer qu'elles sont évidentes Soit (u_(n))_(ngeqslant 0) la suite de nombres réels définie par u_(0)in ]0,1] et par la relation de récurrence u_(n+1)=(u_(n))/(2)+((u_(n))^2)/(4) 1. Montrer que : forall nin N,u_(n)gt 0. 2. Montrer que : forall nin N,u_(n)leqslant 1 3. Montrer que la suite est monotone. En déduire que la suite est convergente. 4. Déterminer la limite de la suite (u_(n))_(ngeqslant 0) Exercice 2: Soit (u_(n))_(nin N) définie par u_(0)=1 et la relation de récurrence u_(n+1)=(u_(n)+8)/(2u_(n)+1) Et soit (v_(n))_(nin N) définie par v_(n)=(u_(n)-2)/(u_(n)+2) 1. Montrer que (v_(n))_(nin N) est une suite géométrique de raison -(3)/(5) 2. Exprimer v_(n) en fonction de n. 3. Exprimer u_(n) en fonction de n. 4. Montrer que (u_(n))_(nin N) converge et déterminer sa limite. Exercice 3: Soit (u_(n))_(nin N) la suite définie par la donnée de u_(0) et de u_(1) et la relation de récurrence 2u_(n+2)-u_(n+1)-u_(n)=0 On pose pour tout nin N v_(n)=u_(n+1)-u_(n) et w_(n)=2u_(n+1)+u_(n) 1. Montrer que (v_(n))_(nin N) est une suite géométrique de raison -(1)/(2) On exprimera v_(n) en fonction de n, u_(0) u_(1) 2. Montrer que (w_(n))_(nin N) est une suite constante On exprimera W_(n) en fonction u_(0) et u_(1) 3. En calculant -2v_(n)+w_(n) de deux façons differentes exprimer u_(n) en fonction de n, u_(0) et u_(1) 4. On pose pour tout nin N S_(n)=sum _(k=0)^nu_(k) Calculer S_(n) en fonction de n,u_(0) et u_(1) Pour quelles valeurs de u_(0) et u_(1) la suite (S_(n))_(nin N) admet-elle une limite finie et dans ce cas exprimer cette limite en fonction de u_(0)

Exercice 1 :1. Montrons que . Initialement, , donc . Supposons que . Alors : car chaque terme est positif. Par récurrence, .2. Montrons que . Initialement, . Supposons que . Alors : .Exercice 2 :1. Montrons que \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison . On a : \[ v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} + 2} \] En utilisant la relation de récurrence pour , on trouve que : Après simplification, on obtient : Ce qui montre que \((v_n)\) est géométrique de raison .2. Exprimons en fonction de . Puisque , on a : 3. Exprimons en fonction de . Sachant que , on résout pour : 4. Montrons que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et déterminons sa limite. Comme quand , on a : Donc \((u_n)\) converge vers 2.Exercice 3 :1. Montrons que \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison . On a : Donc .2. Montrons que \((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite constante. On a : Mais , donc .3. Calculons de deux façons différentes pour exprimer . \(-2v_n + w_n = -2(u_{n+1} - u_n) + (2u_{n+1} + u_n) = u_n\).4. Calculons . Utilisons la formule trouvée pour pour calculer . Pour déterminer les valeurs de et pour lesquelles \((S_n)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite finie, il faut que la somme des termes tende vers une valeur finie, ce qui dépendra des conditions initiales spécifiques.