1. Mostre que T: R^2arrow R^2 dada por T(x,y)=(2x-y,x) trata-se de uma transformação linear.

Question

1. Mostre que T: R^2arrow R^2 dada por T(x,y)=(2x-y,x) trata-se de uma transformação linear.

Answer 1

Para mostrar que a transformação T é linear, precisamos verificar duas propriedades: adição e multiplicação por escalar.1. Adição:Seja

e

vetores em

. Precisamos mostrar que

.Aplicando T na soma dos vetores, temos:

Agora, aplicando T separadamente nos vetores

e

, temos:

Somando as transformações, temos:

Comparando as expressões, podemos ver que

. Portanto, a transformação T satisfaz a propriedade de adição.2. Multiplicação por escalar:Seja

um vetor em

e

um escalar. Precisamos mostrar que

.Aplicando T no produto do escalar e do vetor, temos:

Agora, aplicando T no vetor

, temos:

Multiplicando a transformação T pelo escalar

, temos:

Comparando as expressões, podemos ver que

. Portanto, a transformação T satisfaz a propriedade de multiplicação por escalar.Como a transformação T satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que T é uma transformação linear.

Question

1. Mostre que T: R^2arrow R^2 dada por T(x,y)=(2x-y,x) trata-se de uma transformação linear.

Solution

Resposta