4. Seja Tuma transformação linear em R^3 dada por T(x,y,z)=(z,x-y,-z) Indique: a) Núcleo b) Dimensão da Im (T) (USE O TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM)

Para resolver essa questão, vamos aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem.a) Núcleo: O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor nulo. Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação T(x, y, z) = (0, 0, 0). Vamos substituir os valores de T(x, y, z) na equação:(z, x - y, -z) = (0, 0, 0)A partir dessa equação, podemos ver que z = 0 e x - y = 0. Portanto, x = y. Assim, o núcleo da transformação é dado por todos os vetores da forma (y, y, 0), onde y é um escalar qualquer.b) Dimensão da Imagem: A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como saída da transformação. Para encontrar a dimensão da imagem, precisamos determinar o número de vetores linearmente independentes na imagem. Podemos fazer isso encontrando os vetores imagem correspondentes aos vetores base do espaço de domínio.Os vetores base do espaço de domínio são (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Aplicando a transformação T nesses vetores, obtemos:T(1, 0, 0) = (0, 1, 0)T(0, 1, 0) = (-1, 1, 0)T(0, 0, 1) = (0, -1, 0)Portanto, os vetores imagem correspondentes são (0, 1, 0), (-1, 1, 0) e (0, -1, 0). Podemos ver que esses vetores são linearmente independentes. Assim, a dimensão da imagem é 3.Portanto, a resposta correta é:a) Núcleo: {(y, y, 0) | y é um escalar qualquer}b) Dimensão da Imagem: 3