Questão 3: Calcule Onde, R é a região xy delimitada por: x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 Dica: x^2+y^2=r^2 :' x=rcos(Theta ) because 'y=rsen(Theta ) int e^udu=gt I=e^u+C is cos^2(x)+sen^2(x)=1therefore because A=rdrdTheta Solucão iint _(R)2e^(x^(2+y^2))dA

Para calcular a integral dupla \(\iint_{R} 2e^{(x^{2}+y^{2})}dA\) sobre a região delimitada por e , podemos usar as coordenadas polares.Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas em coordenadas polares. Usando a dica fornecida, temos:\(x = r \cos(\Theta)\) e \(y = r \sin(\Theta)\)Onde é a distância radial e é o ângulo em radianos.Agora, podemos substituir as coordenadas cartesianas por coordenadas polares na integral:\(\iint_{R} 2e^{(x^{2}+y^{2})}dA = \iint_{R} 2e^{r^{2}}r \, dr \, d\Theta\)Agora, vamos calcular a integral em relação a : Para isso, podemos fazer uma substituição. Seja , então . Reescrevendo a integral em termos de , temos: Usando a dica fornecida, podemos calcular essa integral: Substituindo de volta , temos: Agora, vamos calcular a integral em relação a : Como a função não depende de , podemos fatorar a constante da integral: A integral em relação a é simplesmente : Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites da região . A região é um anel com centro em origem e raíos 1 e 2. Portanto, varia de 1 a 2 e varia de 0 a .Substituindo os limites, temos: Simplificando, temos: Portanto, a integral \(\iint_{R} 2e^{(x^{2}+y^{2})}dA\) é igual a zero.