Teorema de Stokes pode ser visto como uma extensão do Teorema de Green, em que a principal diferença reside no numero de variáveis envolvidas enquanto o Teorema de Green se aplica a campos vetoriais bidimensionais, o Teorema de Stokes aborda campos vetoriais tridimensionais,enfatizando a relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada c uma integral de superficie sobre a superficie delimitada por essa curva. Dessa forma, para a integral de linha do campo vetorial F(x,y,z)=(2x^2,3x,y^2) onde C é o paraboloide z= 16-x^2-y^2c o plano z=0 orientado para baixo determine: a) (2 pontos) 0 rotacional do campo vetorial F. b) (2 pontos) 0 vetor normal sobre a superficie. c) (1 ponto) O produto escalar do rotacional e do vetor normal. d) (2 pontos) A montagem da integral dupla usando o resultado do item C e a mudança para coordenadas polares da superficie. e) (3 pontos) A resolução da integral pelo método de Stokes. Observação: apresentar todo o raciocínio e desenvolvimento na resolução da questão.

Vamos resolver cada item passo a passo:a) O rotacional do campo vetorial \( F(x,y,z) = (2x^2, 3x, y^2) \).O rotacional de é dado por: Calculando cada componente: Portanto, o rotacional é: b) O vetor normal sobre a superfície.A superfície é dada pelo paraboloide . Para encontrar o vetor normal, podemos usar o gradiente da função implícita \( g(x, y, z) = z - 16 + x^2 + y^2 \). Como a superfície está orientada para baixo, o vetor normal será na direção oposta: c) O produto escalar do rotacional e do vetor normal. d) A montagem da integral dupla usando o resultado do item c e a mudança para coordenadas polares da superfície.A integral de superfície é dada por: Convertendo para coordenadas polares: O Jacobiano da transformação é , então: Substituindo na integral: e) A resolução da integral pelo método de Stokes.A região é um círculo de raio 4 no plano : Separando as integrais: Primeira integral: Sabemos que: Então a primeira integral é zero.Segunda integral: Portanto, a integral de superfície é: