Question
74 Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 8,0times 10^4 s em torno de um planeta de massa 7,00times 10^24kg .No afélio, a uma distância de 4,5times 10^7 m do centro do planeta, a ve- locidade angular do satélite é 7,158times 10^-5rad/s Qual é a veloci- dade angular do satélite no periélio?
Solution
4
(268 Votos)
Manuel
Avançado · Tutor por 1 anos
Resposta
Para determinar a velocidade angular do satélite no periélio, podemos usar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total de um satélite em órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional.A energia cinética (EK) é dada por:EK = (1/2) * m * v^2Onde m é a massa do satélite e v é a velocidade orbital.A energia potencial gravitacional (Epot) é dada por:Epot = -G * M * m / rOnde G é a constante gravitacional, M é a massa do planeta, m é a massa do satélite e r é a distância entre o centro do planeta e o satélite.No afélio, a energia mecânica total é:Etotal_áf = EK_áf + Epot_áfNo periélio, a energia mecânica total é:Etotal_per = EK_per + Epot_perComo a energia mecânica total é conservada, temos:Etotal_áf = Etotals_perSubstituindo as expressões para EK, Epot e Etotals, temos:(1/2) * m * v_áf^2 + (-G * M * m / r_áf) = (1/2) * m * v_per^2 + (-G * M * m / r_per)Simplificando a equação e rearranjando os termos, temos:G * M * m / r_áf + (1/2) * m * v_áf^2 = G * M * m / r_per + (1/2) * m * v_per^2Podemos cancelar a massa do satélite (m) dos dois lados da equação:G * M / r_áf + (1/2) * v_áf^2 = G * M / r_per + (1/2) * v_per^2Isso pode ser reescrito como:G * M / r_áf - G * M / r_per = (1/2) * v_per^2 - (1/2) * v_áf^2Fatorando G * M / r_per dos dois lados:G * M / r_per * (1 / r_áf - 1 / r_per) = (1/2) * v_per^2 - (1/2) * v_áf^2Multiplicando ambos os lados por 2:2 * G * M / r_per * (1 / r_áf - 1 / r_per) = v_per^2 - v_áf^2Isso pode ser reescrito como:v_per^2 = 2 * G * M / r_per * (1 / r_áf - 1 / r_per) + v_áf^2Substituindo os valores fornecidos:v_per^2 = 2 * 6,67430 * 10^-11 * 7,00 * 10^24 / 4,5 * 10^7 * (1 / 4,5 * 10^7 - 1 / 7,00 * 10^24) + (7,158 * 10^-5)^2v_per^2 ≈ 2 * 6,67430 * 10^-11 * 7,00 * 10^24 / 4,5 * 10^7 * (1 / 4,5 * 10^7 - 1 / 7,00 * 10^24) + 5,14 * 10^-10v_per^2 ≈ 2 * 6,67430 * 10^-11 * 7,00 * 10^24 / 4,5 * 10^7 * (-0,9999999999999999) + 5,14 * 10^-10v_per^2 ≈ -5,92 * 10^-8 + 5,14 * 10^-10v_per^2 ≈ -5,92 * 10^-8 + 5,14 * 10^-10v_per ≈ sqrt(5,92 * 10^-8)v_per ≈ 7,68 * 10^-4 rad/sPortanto, a velocidade angular do satélite no periélio é aproximadamente 7,68 * 10^-4 rad/s.