2. Suponha que, no mesmo plano ry, os objetos A e B se movem de acordo com as equações de posição: overrightarrow (r)_(A)(t)=(2t+1)hat (i)+(4-t^2)hat (j) overrightarrow (r)_(B)(t)=(2t+1)hat (i)+(12-4t)hat (j) Nas equações, posição e tempo são dados em metros e segundos respectivamente. Sabendo disto: a. Determine as posições iniciais dos objetos A e B; b. Esboce as trajetórias dos dois objetos no plano cartesiano; c. Determine o tempo para o qual a distância entre A e B é mínima; d. Determine o valor da menor distância atingida.

Question

2. Suponha que, no mesmo plano ry, os objetos A e B se movem de acordo com as equações de posição: overrightarrow (r)_(A)(t)=(2t+1)hat (i)+(4-t^2)hat (j) overrightarrow (r)_(B)(t)=(2t+1)hat (i)+(12-4t)hat (j) Nas equações, posição e tempo são dados em metros e segundos respectivamente. Sabendo disto: a. Determine as posições iniciais dos objetos A e B; b. Esboce as trajetórias dos dois objetos no plano cartesiano; c. Determine o tempo para o qual a distância entre A e B é mínima; d. Determine o valor da menor distância atingida.

Answer 1

a. Para determinar as posições iniciais dos objetos A e B, basta substituir t = 0 nas equações de posição:Para o objeto A:

Portanto, a posição inicial do objeto A é (1, 4).Para o objeto B:

Portanto, a posição inicial do objeto B é (1, 12).b. Para esboçar as trajetórias dos dois objetos no plano cartesiano, basta plotar as equações de posição em um gráfico com as coordenadas x e y.A trajetória do objeto A será representada pela curva (2t+1, 4-t^2), enquanto a trajetória do objeto B será representada pela curva (2t+1, 12-4t).c. Para determinar o tempo para o qual a distância entre A e B é mínima, é necessário calcular a diferença entre as posições dos dois objetos e encontrar o valor de t que resulta na menor distância.A distância entre A e B é dada por:

Substituindo as equações de posição, temos:

Simplificando a expressão, temos:

Para encontrar o valor de t que resulta na menor distância, é necessário calcular a derivada de d(t) em relação a t e igualar o resultado a zero:

Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação, encontramos o valor de t que resulta na menor distância.d. Para determinar o valor da menor distância atingida, basta substituir o valor de t encontrado na parte c) nas equações de posição dos objetos A e B e calcular a distância entre eles.Substituindo o valor de t encontrado na parte c) nas equações de posição, temos:

Calculando a distância entre A e B, temos:

Substituindo as coordenadas encontradas, temos:

Simplificando a expressão, temos:

Portanto, o valor da menor distância atingida é dado por

.

Question

Solution

Resposta