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Matemática
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2. Resolva a Equação Diferencial a Seguir Pelo Método Da Variação Dos Parâmetros, Sujeita à Condição Inicial Y(0)=1 E Y'(0)=0

Question

2. Resolva a equação diferencial a seguir pelo método da variação dos parâmetros,
sujeita à condição inicial y(0)=1 e y'(0)=0
(d^2y)/(dx^2)+2(dy)/(dx)-8y=2e^-2x-e^-x
3. Sabendo que y_(1)(x)=xey_(2)(x)=xlnx formam um conjunto fund amenta de soluções pa'
square  x^2y''-xy'+y=0em(0,+infty ) encontre a solução geral para a EDO n ão - homogên
x^2y''-xy'+y=4xlnx

2. Resolva a equação diferencial a seguir pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0)=1 e y'(0)=0 (d^2y)/(dx^2)+2(dy)/(dx)-8y=2e^-2x-e^-x 3. Sabendo que y_(1)(x)=xey_(2)(x)=xlnx formam um conjunto fund amenta de soluções pa' square x^2y''-xy'+y=0em(0,+infty ) encontre a solução geral para a EDO n ão - homogên x^2y''-xy'+y=4xlnx

Solution

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Elene Profissional · Tutor por 6 anos

Resposta

2. Para resolver a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada: A solução geral da equação homogênea é: Agora, para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma forma de solução particular: Derivando em relação a , obtemos: Substituindo , e na equação diferencial original, obtemos: Simplificando e igualando os coeficientes, obtemos: Portanto, a solução particular é: A solução geral da equação diferencial é: Usando a condição inicial , encontramos: Usando a condição , encontramos: Portanto, a solução geral da equação diferencial é: 3. Para encontrar a solução geral da EDO não-homogênea , primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada: A solução geral da equação homogênea é: Como e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, a solução geral da equação não homogênea é: onde é a solução particular da equação não homogênea. Para encontrar , assumimos uma forma de solução particular: Derivando em relação a , obtemos: Substituindo , e na equação diferencial não homogênea, obtemos:$x^2(2A\ln x + 2A + 2B) - x(Ax + 2Bx) + Ax^2\ln x + B