Question

2. Resolva a equação diferencial a seguir pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0)=1 e y'(0)=0 (d^2y)/(dx^2)+2(dy)/(dx)-8y=2e^-2x-e^-x 3. Sabendo que y_(1)(x)=xey_(2)(x)=xlnx formam um conjunto fund amenta de soluções pa' square x^2y''-xy'+y=0em(0,+infty ) encontre a solução geral para a EDO n ão - homogên x^2y''-xy'+y=4xlnx
Solution
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4
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Elene
Profissional · Tutor por 6 anos
Resposta
2. Para resolver a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
Agora, para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma forma de solução particular:
Derivando
em relação a
, obtemos:
Substituindo
,
e
na equação diferencial original, obtemos:
Simplificando e igualando os coeficientes, obtemos:
Portanto, a solução particular é:
A solução geral da equação diferencial é:
Usando a condição inicial
, encontramos:
Usando a condição
, encontramos:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
3. Para encontrar a solução geral da EDO não-homogênea
, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
Como
e
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, a solução geral da equação não homogênea é:
onde
é a solução particular da equação não homogênea. Para encontrar
, assumimos uma forma de solução particular:
Derivando
em relação a
, obtemos:
Substituindo
,
e
na equação diferencial não homogênea, obtemos:$x^2(2A\ln x + 2A + 2B) - x(Ax + 2Bx) + Ax^2\ln x + B