Pergunta

Assinale a alternativa que contenha o fluxo do campo vetorial overrightarrow (F)(x,y,z)=(2x+y,ln(x)-3z,e^x-y) sobre a esfera x^2+y^2+z^2=4 Utilize o Teorema de Gauss. a (64pi )/(5) b. (8pi )/(3) c 64pi d. 64x (64pi )/(3) e. (16pi )/(3)
Solução

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RaphaelVeterano · Tutor por 12 anos
Responder
Para calcular o fluxo do campo vetorial
O Teorema de Gauss afirma que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à soma dos fluxos através de todas as superfícies que compõem a divisão da superfície fechada.
No caso da esfera
Vamos calcular o fluxo através da metade superior da esfera. Para isso, podemos utilizar coordenadas esféricas
A equação da esfera em coordenadas esféricas é
Após calcular o fluxo através da metade superior da esfera, podemos multiplicar o resultado por 2 para obter o fluxo total através da esfera.
Após realizar os cálculos, encontramos que o fluxo do campo vetorial
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
sobre a esfera
, podemos utilizar o Teorema de Gauss.
O Teorema de Gauss afirma que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à soma dos fluxos através de todas as superfícies que compõem a divisão da superfície fechada.
No caso da esfera
, podemos dividir a superfície em duas metades: a metade superior e a metade inferior.
Vamos calcular o fluxo através da metade superior da esfera. Para isso, podemos utilizar coordenadas esféricas
, onde
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
A equação da esfera em coordenadas esféricas é
. Portanto, podemos substituir
,
e
na expressão do campo vetorial
.
Após calcular o fluxo através da metade superior da esfera, podemos multiplicar o resultado por 2 para obter o fluxo total através da esfera.
Após realizar os cálculos, encontramos que o fluxo do campo vetorial
através da esfera
é igual a
.
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
.
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