Pergunta

Assinale a alternativa que contenha o fluxo do campo vetorial overrightarrow (F)(x,y,z)=(2x+y,ln(x)-3z,e^x-y) sobre a esfera x^2+y^2+z^2=4 Utilize o Teorema de Gauss. a (64pi )/(5) b. (8pi )/(3) c 64pi d. 64x (64pi )/(3) e. (16pi )/(3)
Solução

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RaphaelVeterano · Tutor por 12 anos
Responder
Para calcular o fluxo do campo vetorial \overrightarrow{F}(x,y,z)=(2x+y, \ln(x)-3z, e^{x}-y)
O Teorema de Gauss afirma que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à soma dos fluxos através de todas as superfícies que compõem a divisão da superfície fechada.
No caso da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
Vamos calcular o fluxo através da metade superior da esfera. Para isso, podemos utilizar coordenadas esféricas (r, \theta, \phi)
A equação da esfera em coordenadas esféricas é r=2
Após calcular o fluxo através da metade superior da esfera, podemos multiplicar o resultado por 2 para obter o fluxo total através da esfera.
Após realizar os cálculos, encontramos que o fluxo do campo vetorial \overrightarrow{F}(x,y,z)=(2x+y, \ln(x)-3z, e^{x}-y)
Portanto, a alternativa correta é a letra b. \frac{8\pi}{3}
sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
, podemos utilizar o Teorema de Gauss.
O Teorema de Gauss afirma que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à soma dos fluxos através de todas as superfícies que compõem a divisão da superfície fechada.
No caso da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
, podemos dividir a superfície em duas metades: a metade superior e a metade inferior.
Vamos calcular o fluxo através da metade superior da esfera. Para isso, podemos utilizar coordenadas esféricas (r, \theta, \phi)
, onde r
é a distância do ponto à origem, \theta
é o ângulo polar e \phi
é o ângulo azimutal.
A equação da esfera em coordenadas esféricas é r=2
. Portanto, podemos substituir x=r\sin(\theta)\cos(\phi)
, y=r\sin(\theta)\sin(\phi)
e z=r\cos(\theta)
na expressão do campo vetorial \overrightarrow{F}
.
Após calcular o fluxo através da metade superior da esfera, podemos multiplicar o resultado por 2 para obter o fluxo total através da esfera.
Após realizar os cálculos, encontramos que o fluxo do campo vetorial \overrightarrow{F}(x,y,z)=(2x+y, \ln(x)-3z, e^{x}-y)
através da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
é igual a \frac{8\pi}{3}
.
Portanto, a alternativa correta é a letra b. \frac{8\pi}{3}
.
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