Exercice 12 Trouver les extrema des fonctions suivantes : l f(x,y)=2x^4-3x^2y+y^2 3. h(x,y)=x((lnx)^2+y^2) pour xgt 0. g(x,y)=x^2y^3(3x+2y+1)

Pour trouver les extrema des fonctions données, nous allons utiliser la méthode de la dérivée partielle.1. Pour la fonction , nous allons calculer les dérivées partielles de par rapport à et : Ensuite, nous allons trouver les points où les dérivées partielles sont égales à zéro : En résolvant ce système d'équations, nous obtenons : ou Pour , nous avons . Pour , nous avons .En substituant ces valeurs dans la fonction , nous obtenons : Donc, les extrema de la fonction sont les points et .2. Pour la fonction , nous allons calculer la dérivée partielle de par rapport à et : Ensuite, nous allons trouver les points où les dérivées partielles sont égales à zéro : La première équation n'a pas de solution car est toujours positif ou nul. La deuxième équation donne .En substituant cette valeur dans la fonction , nous obtenons : Donc, l'extremum de la fonction est le point .3. Pour la fonction , nous allons calculer les dérivées partielles de par rapport à et : Ensuite, nous allons trouver les points où les dérivées partielles sont égales à zéro : En résolvant ce système d'équations, nous obtenons : ou Pour , nous avons . Pour , nous avons .En substituant ces valeurs dans la fonction , nous obtenons : Donc, l'extremum de la fonction est le point .