Question
Seja a função de variável complexa f(z)=(2)/(e^2z)-1 e C:vert zvert =2 , Calcule: a) a singularid ade de f: b) a singulari lade de f pertence a C? c)calcule o resíduo de f em C: d)calcule int _(-infty )^+infty f(z)dz em C
Solution
4.5
(298 Votos)
Rosana
Elite · Tutor por 8 anos
Resposta
Vamos corrigir e detalhar cada parte da questão:### a) A singularidade de
Para encontrar as singularidades da função \( f(z) = \frac{2}{e^{2z} - 1} \), precisamos identificar os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Portanto, a função \( f(z) \) tem uma singularidade em
.### b) A singularidade de
pertence a
?O círculo
é definido por
. A singularidade
está dentro desse círculo, pois
. Portanto, a singularidade de
pertence ao círculo
.### c) Calcular o resíduo de
em
Para calcular o resíduo de \( f(z) \) em
, usamos a fórmula do resíduo:
Substituindo
:
Para calcular esse limite, podemos usar a série de Taylor para
em torno de
:
Substituindo na expressão do resíduo:
Portanto, o resíduo de
em
é
.### d) Calcular a integral \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(z) \, dz \) em
Para calcular essa integral, precisamos considerar a singularidade em
. A integral pode ser expressa como:
Podemos usar a forma de integral de residuo para calcular essa integral ao redor da singularidade:
onde
é um círculo contendo a singularidade
e que pode ser fechado no sentido positivo. Usando a fórmula do resíduo:
Já calculamos o resíduo como
:
Portanto, a integral
é
.