Os volumes dos sólidos de rotação podem ser estudados, dentre outros conceitos, pelas integrais de funções de uma variável real Considere o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y,da regiāo limitada pelas seguintes curvas: y=0,25x^2,y=0,y=4 e x=0 Assinale a alternativa que contém o volume do sólido formado 4pi uv. 32pi uN 16pi u. 64pi uN. 64/5pi u.

Para calcular o volume do sólido de rotação, podemos usar o método das discos ou anéis. Neste caso, vamos usar o método das discos.O sólido é formado pela rotação da região limitada pelas curvas , , e em torno do eixo y.Para calcular o volume, precisamos integrar a área de cada disco em relação a x. A área de cada disco é dada por \(A(x) = \pi (f(x))^2\), onde \(f(x)\) é a função que define a curva.Neste caso, a função que define a curva é . Portanto, a área de cada disco é dada por \(A(x) = \pi (0,25x^2)^2\).Para calcular o volume, precisamos integrar a área de cada disco em relação a x. O limite inferior da integral é 0 e o limite superior é a raiz quadrada de 16, pois quando .Portanto, o volume do sólido é dado por: Simplificando a expressão dentro da integral, temos: Integrando a função, temos: Substituindo os limites de integração, temos: Simplificando a expressão, temos: Portanto, a alternativa correta é: