230. (Unesp-SP) A altura y(t) de um projétil, lançado a 15 m do solo, numa região plana e horizontal.com velocidade vertical inicial 10m/s é dada por y(t)=-5t^2+10t+15 considerando t=0 como o instante do lançamento. A posição horizontal x(t) é dade por x(t)=10sqrt (3)t Determine a altura máxima e o alcance (deslocamento horizontal máximo) que o projetil atinge considerando que ele caia no solo.

Para determinar a altura máxima que o projétil atinge, podemos encontrar o valor máximo da função \( y(t) \). A função \( y(t) \) é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente do termo quadrático é negativo. O vértice da parábola representa o ponto mais alto da trajetória do projétil.A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola no formato é dada por . No nosso caso, a função \( y(t) \) é dada por \( y(t) = -5t^2 + 10t + 15 \), onde e .Substituindo esses valores na fórmula, temos:\( t = -\frac{10}{2(-5)} = 1 \)Agora, podemos substituir esse valor de na função \( y(t) \) para encontrar a altura máxima:\( y(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 15 = -5 + 10 + 15 = 20 \)Portanto, a altura máxima que o projétil atinge é de 20 metros.Para determinar o alcance (deslocamento horizontal máximo) que o projétil atinge, podemos encontrar o valor de quando \( y(t) = 0 \), ou seja, quando o projétil atinge o solo. Para isso, podemos resolver a equação \( y(t) = 0 \): Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: Substituindo os valores de , e , temos:\( t = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(-5)(15)}}{2(-5)} \)Simplificando a expressão, temos: Portanto, as soluções são e . Como o tempo não pode ser negativo, descartamos .Agora, podemos substituir esse valor de na função \( x(t) \) para encontrar o alcance:\( x(3) = 10\sqrt{3}(3) = 30\sqrt{3} \)Portanto, o alcance que o projétil atinge é de metros.