Pequeno Teorema de Fermat nos permite realizar diversos cálculos de maneira mais rápida, sendo um grande aliado na Teoria dos Números. Teorema nos diz que: "Se péum primo e a é um inteiro não divisivel por p, então a^p-1equiv 1(modp) ". Utilizando o PTF, determine o resto da divisão de 135^67 por 7.

Para determinar o resto da divisão de por 7 utilizando o Pequeno Teorema de Fermat, primeiro precisamos encontrar o resto da divisão de 135 por 7.Dividindo 135 por 7, obtemos: 135 \div 7 = 19 \text{ resto } 2 Portanto, o resto da divisão de 135 por 7 é 2.Agora, podemos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat para encontrar o resto da divisão de por 7. O teorema nos diz que, se p é um número primo e a é um inteiro não divisível por p, então: a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} No nosso caso, p = 7 e a = 135. Como 135 é divisível por 7, temos que 135 ≡ 2 (mod 7). Portanto, podemos reescrever a expressão como: 2^{7-1} \equiv 1 \pmod{7} Simplificando, temos: 2^6 \equiv 1 \pmod{7} Agora, podemos substituir essa congruência na expressão original: 135^{67} \equiv 2^{67} \pmod{7} Para calcular , podemos usar a propriedade de exponenciação. Podemos escrever 67 como 6 * 11 + 1, então: 2^{67} = 2^{6 \cdot 11 + 1} = (2^6)^{11} \cdot 2^1 Como , temos: (2^6)^{11} \equiv 1^{11} \equiv 1 \pmod{7} Portanto: 2^{67} \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 \pmod{7} Assim, o resto da divisão de por 7 é 2.