3-Calcule int _(0)^+infty f(z)dz na regiao C, sendo f(z)=(e^z)/(9+z^2) e C:vert zvert =4 onde Im(z)lt 0 (5,0 pontos )

Question

3-Calcule int _(0)^+infty f(z)dz na regiao C, sendo f(z)=(e^z)/(9+z^2) e C:vert zvert =4 onde Im(z)lt 0 (5,0 pontos )

Answer 1

Para calcular a integral \(\int_{0}^{+\infty} f(z) \, dz\) na região

, onde \(f(z) = \frac{e^z}{9 + z^2}\) e

com \(Im(z) < 0\), podemos usar a técnica de integração complexa.Primeiro, vamos expressar

em termos de sua parte real e imaginária:

onde

é a parte real e

é a parte imaginária de

.A integral se torna:

Para simplificar, vamos considerar a parte imaginária

. Como \(Im(z) < 0\),

é negativo. Vamos fazer a substituição

, onde

e

varia de 0 a

.A integral se transforma em:

Simplificando o expoente, temos:

Portanto, a integral se torna:

Para resolver essa integral, podemos usar a propriedade de integração complexa e considerar a forma polar dos números complexos. No entanto, para simplificação, podemos observar que a integral pode ser decomposta em partes reais e imaginárias.Vamos considerar a parte real da integral:

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou métodos avançados de integração complexa. No entanto, para simplificação, podemos observar que a integral pode ser decomposta em partes reais e imaginárias.Vamos considerar a parte real da integral:

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou métodos avançados de integração complexa. No entanto, para simplificação, podemos observar que a integral pode ser decomposta em partes reais e imaginárias.Vamos considerar a parte real da integral:\[ \int_{0}^{\pi} \frac{e^r \cdot e^{i\theta}}

Question

3-Calcule int _(0)^+infty f(z)dz na regiao C, sendo f(z)=(e^z)/(9+z^2) e C:vert zvert =4 onde Im(z)lt 0 (5,0 pontos )

Solution

Resposta