das potências: - Neutrou us seguintes notogoes x-para expressar a primeira potência; xx-para expressar a segunda potência; xxx-para expressar a terceira potência. francês René Descartes (1596-1650) intro- duziu as notações x,x^2,x^3 para potências, notações essas que usamos até hoje. Fonte: GIOVANN: CASTRUCCE GIOVANNI JR. A conguista da matemática. 8 ed. Sǎo Paulo: FTD,2002. Analise as igualdades abaixo: I. (x^3y^4)^4=x^12y^16 II. -5^0+3^0-(-4)^0=1 III (2^0+frac (1)/(2))((1)/(4)-3^0)=-2 IV. (4^0+4^-1)div (4^0-4^-1)=(5)/(3) Assinale a alternativa CORRETA. a) Apenas as igualdades I e II são VER DADEIRAS. b) Apenas as igualdades I, III e IV são VERDADEIRAS. c) Apenas as igualdades II e IV são VERDADEIRAS. d) Apenas a igualdade IV é VERDADEIRA. e) Todas as igualdades são VERDADEIRAS.

Vamos analisar cada uma das igualdades:

I. $(x^{3}y^{4})^{4} = x^{12}y^{16}$
- Usando a propriedade das potências $(a^m)^n = a^{mn}$, temos:
$$(x^{3}y^{4})^{4} = x^{3 \cdot 4} y^{4 \cdot 4} = x^{12} y^{16}$$
- Portanto, a igualdade I é verdadeira.

II. $-5^{0} + 3^{0} - (-4)^{0} = 1$
- Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual a 1, exceto quando o número é 0. Então:
$$-5^{0} = -(1) = -1, \quad 3^{0} = 1, \quad (-4)^{0} = 1$$
$$-1 + 1 - 1 = -1$$
- Portanto, a igualdade II é falsa.

III. $\frac{2^{0} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} - 3^{0}} = -2$
- Usando a propriedade das potências, temos:
$$2^{0} = 1, \quad 3^{0} = 1$$
$$\frac{1 + \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1.5}{-0.75} = -2$$
- Portanto, a igualdade III é verdadeira.

IV. $(4^{0} + 4^{-1}) \div (4^{0} - 4^{-1}) = \frac{5}{3}$
- Usando a propriedade das potências, temos:
$$4^{0} = 1, \quad 4^{-1} = \frac{1}{4}$$
$$(1 + \frac{1}{4}) \div (1 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{3}$$
- Portanto, a igualdade IV é verdadeira.

Portanto, a alternativa correta é:
b) Apenas as igualdades I, III e IV são VERDADEIRAS.