Question
P9) Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas x^2=y x^2=2y,y^2=xey^2=2x usando a mudança de variável x^2=yu e y^2=xv
Solution
4.1
(209 Votos)
Andres
Profissional · Tutor por 6 anos
Resposta
Para calcular a área da região delimitada pelas parábolas dadas, podemos usar as mudanças de variável sugeridas:
e
.Primeiro, vamos entender as equações das parábolas:1.
2.
3.
4.
As mudanças de variável são:-
implica
-
implica
Agora, precisamos encontrar os limites de integração para
e
. As equações originais podem ser reescritas em termos de
e
:- Para
, temos
.- Para
, temos
.- Para
, temos
.- Para
, temos
.A região de integração no plano \( (u, v) \) é então um retângulo com
e
.A área da região no plano \( (u, v) \) é simplesmente a área do retângulo, que é dada por:
Portanto, a área da região delimitada pelas parábolas no plano original é 1.