4) Resolva a seguinte equação diferencial: y'=epsilon y-sigma y^3;epsilon gt 0esigma gt 0 (estabilidade hidrodinâmica).

Question

Answer 1

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação diferencial na forma padrão:

Agora, procuramos um fator integrante que seja uma função de y. Supondo que tal fator exista, ele deve satisfazer a seguinte equação:

onde A(y) é uma função desconhecida que precisamos encontrar. Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por

, obtemos:

Agora, aplicamos a regra de derivada do produto para a primeira termo do lado esquerdo:

Reorganizando os termos, temos:

Agora, podemos dividir ambos os lados por

para eliminar o fator

:

Para encontrar A(y), integramos ambos os lados em relação a y:

onde C é uma constante de integração. Como estamos procurando um fator integrante, podemos escolher C de tal forma que

. Portanto, temos:

Resolvendo para C, obtemos:

Portanto, o fator integrante é:

onde P(y) é a função que aparece na equação diferencial. Neste caso, temos:

Integrando P(y) em relação a y, obtemos:

Portanto, o fator integrante é:

Substituindo C por 1 +

, temos:

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

onde y(0) é uma constante arbitrária.

Question