51. Encontre o comprimento da circunferência de equação x^2+y^2=16 52. Determine a equação da circunferência com centro em (2,3) e raio 5. 53. Verifique se o ponto (1,-1) pertence à circunferência x^2+y^2-2x+4y-4=0 ponto (da reta que passa pelo ponto (0,2) e é perpendicular ao

51. Para encontrar o comprimento da circunferência da equação , precisamos primeiro identificar o raio da circunferência. A equação representa uma circunferência com centro em \((0,0)\) e raio . O comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula , onde é o raio. Portanto, o comprimento da circunferência é .52. Para determinar a equação da circunferência com centro em \((2,3)\) e raio 5, usamos a fórmula geral da equação da circunferência: \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), onde \((h,k)\) é o centro da circunferência e é o raio. Substituindo os valores dados, temos \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}\). Simplificando, a equação da circunferência é \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25\).53. Para verificar se o ponto \((1,-1)\) pertence à circunferência dada pela equação , substituímos as coordenadas do ponto na equação e verificamos se a igualdade é satisfeita. Substituindo e , temos \((1)^{2}+(-1)^}-2(1)+4(-1)-4=1+1-2-4-4=-8\). Como o resultado não é igual a zero, o ponto \((1,-1)\) não pertence à circunferência.54. Para determinar a equação da reta que passa pelo ponto \((0,2)\) e é perpendicular ao vetor , precisamos encontrar o coeficiente angular da reta. O coeficiente angular de uma reta perpendicular a um vetor é dado por . No caso, o coeficiente angular da reta é . Usando ponto-coeficiente angular da equação da reta, temos \(y-2=-\frac{3}{4}(x-0)\). Simplificando, a equação da reta é .