2. (1,5 pt) Considere a função bilinear e simétrica f:R^2times R^2arrow R definida por f((x_(1),x_(2)),(y_(1),y_(2)))=x_(1)y_(1)-2x_(1)y_(2)-2x_(2)y_(1)+kx_(2)y_(2) Detemine os valores de k que tornam a função f um produto interno.

Para que a função seja um produto interno, ela deve satisfazer as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade.1. **Bilinearidade**: A função deve ser linear em cada variável. Isso significa que, para qualquer \( (x_1, x_2) \) e \( (y_1, y_2) \) no domínio de , a função deve ser linear em \( (x_1, x_2) \) e \( (y_1, y_2) \) separadamente.2. **Simetria**: A função deve ser simétrica, o que significa que \( f((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = f((y_1, y_2), (x_1, x_2)) \).3. **Positividade**: A função deve ser positiva-definida, o que significa que \( f((x_1, x_2), (x_1, x_2)) > 0 \) para todo \( (x_1, x_2) \neq (0, 0) \).Vamos analisar a função dada: Para que seja um produto interno, ela deve ser simétrica. Vamos verificar a simetria: Para que \() seja simétrica, devemos ter: Comparando as expressões, vemos que as termos correspondentes devem ser iguais. Isso implica que: Essas igualdades são verdadeiras para qualquer . Portanto, a simetria é satisfeita.Agora, para que seja um produto interno, devemos ter \( f((x_1, x_2), (x_1, x_2)) > 0 \) para todo \( (x_1, x_2) \ (0, 0) \). Para que \( f((x_1, x_2), (x_1, x_2)) > 0 \) para todo \( (x_1, x_2) \neq (0, 0) \), a expressão deve ser positiva para todos os e . Isso implica que o coeficiente de deve ser positivo, ou seja, .Portanto, o valor de que torna a função um produto interno é .