Considere g:Rlongmapsto R uma função com derivada (dg)/(dt) contínua e f a função definida por f(x)=int _(0)^x(dg)/(dt)(t) dt para todo x e R Nessas condições , avalie as afirmações que se seguem. I. A função fe integrável em todo intervalo [a,b] a,bin R,alt b

Para avaliar a afirmação I, precisamos entender a função \( f(x) \) que é definida como \( f(x) = \int_{0}^{x} \frac{dg}{dt}(t) \, dt \).A função \( g(t) \) tem uma derivada contínua , o que implica que \( g(t) \) é uma função diferenciável e, portanto, contínua. A integral \( \int_{0}^{x} \frac{dg}{dt}(t) \, dt \) é, portanto, uma integral definida de uma função contínua, o que significa que \( f(x) \) é uma função contínua.Para verificar se \( f(x) \) é integrável em qualquer intervalo com e , precisamos lembrar que a continuidade implica a integrabilidade em qualquer intervalo fechado. Como \( f(x) \) é contínua em , ela é integrável em qualquer intervalo fechado .Portanto, a afirmação I é verdadeira: a função \( f(x) \) é integrável em todo intervalo para e .