Exercice 3: Soit G= () a&b b&c 1^circ Montrer que G est un sous espace vectoriel de M_(2) 2^circ Donnons un base et la dimension de G.

Pour montrer que est un sous-espace vectoriel de \( M_2(\mathbb{R}) \), nous devons vérifier trois propriétés : la non-nullité, l'additivité et l'homogénéité.1. **Non-nullité** : Nous devons montrer que contient le vecteur nul. Le vecteur nul dans \( M_2(\mathbb{R}) \) est la matrice nulle . Vérifions si ce vecteur appartient à . Pour cela, nous devons vérifier si . Cela est vrai, donc le vecteur nul appartient à .2. **Additivité** : Nous devons montrer que est stable par addition. Soient et deux matrices dans . Nous devons montrer que est également dans . Calculons : Puisque et , nous avons . Donc, est dans .3. **Homogénéité** : Nous devons montrer que est stable par multiplication par un scalaire. Soit une matrice dans et un scalaire. Nous devons montrer que est dans . Calculons : Puisque , nous avons \( \lambda a + \lambda b = \lambda (a + b) = \lambda \cdot 0 = 0 \). Donc, est dans .Puisque satisfait aux trois propriétés de non-nullité, d'additivité et d'homogénéité, nous pouvons conclure que est un sous-espace vectoriel de \( M_2(\mathbb{R}) \).2. **Base et dimension de ** : Pour trouver une base de , nous devons trouver des matrices dans qui sont linéairement indépendantes et qui englobent tous les éléments de . Considérons les matrices et . Nous pouvons montrer que toute matrice de la forme dans peut être écrite comme une combinaison linéaire de ces deux matrices. Donc, une base de est . La dimension de est 2, car il y a deux matrices dans la base.