5. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura cc 30^circ F . Se após 10 min a temperatura do corpo é de 0^circ F e após 20 min é de 15^circ F determine a temperatura inicial.

Para resolver esse problema, podemos usar a Lei da Radiação de Stefan-Boltzmann, que descreve como um corpo emite radiação térmica. A fórmula para a taxa de emissão de radiação térmica é: onde:- é a taxa de emissão de radiação térmica,- é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),- é a área da superfície do corpo,- é a temperatura do corpo em Kelvin.Vamos considerar que a temperatura ambiente é , que é (para converter Fahrenheit para Celsius, usamos a fórmula \( C = \frac{5}{9} (F - 32) \)).Para simplificar, vamos assumir que o quarto é isento de radiação externa, então a única fonte de calor é o corpo. A temperatura inicial do corpo é e a temperatura final após 10 minutos é ou .A taxa de emissão de calor pelo corpo é igual à taxa de absorção de calor pelo ambiente. Então, temos: Após 10 minutos, a temperatura do corpo é ou . Então: Após 20 minutos, a temperatura do corpo é ou . Então: Como a taxa de emissão de calor é a mesma em ambos os casos, podemos igualar as duas equações: Podemos cancelar de ambos os lados: No entanto, essa igualdade não é verdadeira, o que indica que a suposição de que a temperatura inicial é não é correta. Vamos corrigir a abordagem.Vamos usar a fórmula da taxa de troca de calor: onde:- é a constante de proporcionalidade,- é a temperatura do corpo,- é a temperatura ambiente.Resolvendo essa equação diferencial, obtemos: Para minutos: Para minutos: Resolvendo essas duas equações simultaneamente, podemos encontrar . Vamos resolver: Para a segunda equação: Substituindo : \[ \Rightarrow \frac{1}{2}