Um cilindro de eixo vertical, com base de área A=100 cm^2 , é vedado por um êmbolo de massa desprezível que pode deslizar livremente e contém ar à temperatura T_(0)= 300 K. Colocando-se sobre o êmbolo uma massa M=50kg ar deve ser aquecido até uma temperatura T para que o êmbolo volte à posição inicial. Qual o valor T, supondo que ar é um gás ideal? Dados: pressaoo atmosferica=1,0cdot 10^5N/m^2 ; aceleração da gravidade=10m/s^2

Para resolver o problema, podemos usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação de energia interna de um sistema com o trabalho realizado sobre ele e o calor absorvido.A energia interna de um gás ideal está diretamente relacionada à sua temperatura. Portanto, podemos usar a seguinte equação: Onde: é a variação de energia interna, é o número de mols de gás, é a capacidade de calor específica a volume constante, é a variação de temperatura.No nosso caso, o êmbolo realiza trabalho sobre o gás quando se move, e o gás absorve calor para aumentar sua energia interna. Portanto, podemos escrever a seguinte equação: Onde: é o trabalho realizado pelo êmbolo, é o calor absorvido pelo gás.O trabalho realizado pelo êmbolo é dado por: Onde: é a pressão do gás, é a variação de volume do gás.Como o êmbolo retorna à sua posição inicial, a variação de volume é igual à área da base do cilindro multiplicada pela variação de altura: Onde: é a área da base do cilindro, é a variação de altura do êmbolo.Substituindo as expressões acima, temos: Como a pressão do gás é igual à pressão atmosférica, podemos substituir o valor dado: Simplificando a expressão, temos: Sabemos que a massa do êmbolo é desprezível, então podemos considerar que a variação de massa do êmbolo é igual à massa da massa colocada sobre ele. Portanto, temos: Substituindo na expressão anterior, temos: Simplificando a expressão, temos: Para encontrar o valor de T, precisamos calcular o número de mols de gás. Podemos usar a lei dos gases ideais: Onde: é a pressão do gás, é o volume do gás, é o número de mols de gás, é a constante dos gases ideais, é a temperatura do gás.Substituindo os valores dados, temos: Simplificando a expressão, temos: Agora, podemos substituir o valor de V na expressão anterior para encontrar o valor de T: Simplificando a expressão, temos: Portanto, o valor de T é dado por: Substituindo os valores dados, temos: Onde: é a temperatura inicial do gás, é a massa da massa colocada sobre o êmbolo, é a área da base do cilindro,