Determine o valor da integral int _(0)^(sqrt (2)/(2))(10x)/(1+4x^4)du Ref.: 202313378130202308388274 (5pi )/(8) (5pi )/(7) (3pi )/(8) (5pi )/(3) (pi )/(8)

Para determinar o valor da integral , podemos fazer uma substituição adequada. Vamos usar a substituição . Então, , ou seja, .Reescrevendo a integral em termos de , temos: Simplificando, obtemos: A integral é uma integral conhecida, que resulta em \(\ln(2)\). Portanto, temos: No entanto, precisamos verificar se essa resposta está entre as opções fornecidas. Vamos reavaliar a integral usando uma abordagem diferente.Podemos usar uma integral conhecida para resolver essa integral. A integral de é \(\arctan(u)\). Vamos reescrever a integral usando essa forma: Agora, podemos usar a substituição \(u = \frac{1}{2} \tan(\theta)\), então \(du = \frac{1}{2} \sec^2(\theta) d\theta\). Quando , , e quando , . Portanto, a resposta correta é .