As raizes da equação x^3+9x^2+23x-15=0 colocadas em ordem crescente são os termos iniciais de uma progressão aritmética, cuja soma dos 20 primeiros termos é: (A) 380 (B) 390 (C) 40 o (D) 41 o (E) 420

Para encontrar as raízes da equação , podemos usar o método fatoração ou o método de Newton-Raphson. Vamos usar o método de fatoração.Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz racional da equação. Podemos usar o Teorema das Raízes Racionais, que afirma que se um polinômio tem raízes racionais, elas devem ser fatores de termo independente (-15) divididos pelos fatores de coeficiente líder (1).Os fatores de -15 são: ±1, ±3, ±5, ±15.Vamos testar esses valores na equação original:Para :\(1^{3} + 9(1)^{2} + 23(1) - 15 = 1 + 9 + 23 - 15 = 18 \neq 0\)Para :\((-1)^{3} + 9(-1)^{2} + 23(-1) - 15 = -1 + 9 - 23 - 15 = -30 \neq 0\)Para :\(3^{3} + 9(3)^{2} + 23(3) - 15 = 27 + 81 + 69 - 15 = 162 \neq 0\)Para :\((-3)^{3} + 9(-3)^{2} + 23(-3) - 15 = -27 + 81 - 69 - 15 = -30 \neq 0\)Para :\(5^{3} + 9(5)^{2} + 23(5) - 15 = 125 + 225 + 115 - 15 = 465 \neq 0\)Para :\((-5)^{3} + 9(-5)^{2} + 23(-5) - 15 = -125 + 225 - 115 - 15 = -30 \neq 0\)Para :\(15^{3} + 9(15)^{2} + 23(15) - 15 = 3375 + 2025 + 345 - 15 = 5770 \neq 0\)Para :\((-15)^{3} + 9(-15)^{2} + 23(-15) - 15 = -3375 + 2025 - 345 - 15 = -1950 \neq 0\)Nenhuma das raízes racionais testadas satisfaz a equação. Portanto, podemos concluir que as raízes da equação não são números racionais.Agora, vamos encontrar as raízes da equação usando o método de fatoração. Podemos escrever a equação como:\(x^{3} + 9x^{2} + 23x - 15 = (x - r)(x^{2} + (r + 9)x + (r + 15)) = 0\)Comparando os coeficientes, temos: Resolvendo essas equações, encontramos e .Portanto, as raízes da equação são , e .Agora, vamos encontrar a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética formada por essas raízes, colocadas em ordem crescente.A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por:\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)Onde é a soma dos primeiros termos, é o primeiro termo e é o último termo.Neste caso, , e .Substituindo esses valores na fórmula, temos:\(S_{20} = \frac{20}{2}(-3 + 5) = 10 \cdot 2 = 20\)Portanto, a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética é 20.A resposta cor