Pergunta

14. (ESP M) O conjunto solução da equação x^3+x^2-100x-100=0 a) S= -1,10 d) S= -10,-1,10 b) S= -1,1,10 e) S= -1,100 c) S= -10,1,10
Solução

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FernandaMestre · Tutor por 5 anos
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Para encontrar o conjunto solução da equação x^{3}+x^{2}-100x-100=0
Vamos usar o teorema das raízes racionais, que afirma que se uma equação polinomial tem coeficientes inteiros, então suas raízes racionais são também inteiros e podem ser encontradas dividindo os termos constantes pelos coeficientes principais.
Neste caso, os coeficientes são 1, 1, -100 e -100. Portanto, as possíveis raízes racionais são os divisores de 100, que são ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±25, ±50 e ±100.
Vamos testar essas possíveis raízes na equação original:
- Para x = -1: (-1)^{3}+(-1)^{2}-100(-1)-100 = -1+1+100-100 = 0
- Para x = 1: (1)^{3}+(1)^{2}-100(1)-100 = 1+1-100-100 = -198
- Para x = 10: (10)^{3}+(10)^{2}-100(10)-100 = 1000+100-1000-100 = 0
Portanto, as raízes racionais são -1 e 10. Agora, podemos escrever a equação fatorada como (x+1)(x-10)(x+10)=0
Assim, o conjunto solução da equação é S=\{-10,-1,10\}
Portanto, a resposta correta é a opção d) S=\{-10,-1,10\}
, podemos tentar fatorar a equação ou usar o teorema das raízes racionais.
Vamos usar o teorema das raízes racionais, que afirma que se uma equação polinomial tem coeficientes inteiros, então suas raízes racionais são também inteiros e podem ser encontradas dividindo os termos constantes pelos coeficientes principais.
Neste caso, os coeficientes são 1, 1, -100 e -100. Portanto, as possíveis raízes racionais são os divisores de 100, que são ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±25, ±50 e ±100.
Vamos testar essas possíveis raízes na equação original:
- Para x = -1: (-1)^{3}+(-1)^{2}-100(-1)-100 = -1+1+100-100 = 0
- Para x = 1: (1)^{3}+(1)^{2}-100(1)-100 = 1+1-100-100 = -198
- Para x = 10: (10)^{3}+(10)^{2}-100(10)-100 = 1000+100-1000-100 = 0
Portanto, as raízes racionais são -1 e 10. Agora, podemos escrever a equação fatorada como (x+1)(x-10)(x+10)=0
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Assim, o conjunto solução da equação é S=\{-10,-1,10\}
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Portanto, a resposta correta é a opção d) S=\{-10,-1,10\}
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