Question
Em anos de desenvolvimento, a matemática vem tomando uma significativa importância no cotidiano de todos no decorrer dos tempos , principalmente para os engenheiros. Ela está presente em tudo, em situações cotidianas e em cursos de graduação, seja de forma direta ou indireta. O Cálculo Diferencial e Integral, faz parte de toda a vida acadêmica dos estudantes de engenharia , proporcionando-os a possibilidade de solucionar problemas na profissão escolhida, ou nas diversas áreas do conhecimento de uma forma mais assertiva. Como exemplo, no cálculo de tração, compressão , cisalhamento, tensões e deformações (deformações em barras carregadas axialmente/barras sob a ação do próprio peso), cálculo de áreas, volumes , momentos de inércia, cargas e entre outros. Fonte: https://repositorio ufersa.edu.br/server/apil core/bitstreams/e70d1cfa-24fe -4f5d- b297-0e2931acbbe9/content Acesso em: 10 ago . 2024. Sobre a importância dos conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral observe a função a seguir. f(x)=sqrt (x+1)-2x+4 Com base na função , faça: a) Qual o valor dessa função calculada no ponto 3? b) Qual a taxa de variação instantânea, ou seja, a derivada dessa função? c) Qual o valor da derivada calculada no ponto 3? d) A derivada segunda dessa função é? e) A derivada segunda calculada no ponto 3 é?
Solution
4.5
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Thiago
Profissional · Tutor por 6 anos
Resposta
Para resolver as questões propostas, vamos analisar a função \( f(x) = \sqrt{x+1} - 2x + 4 \).a) **Valor da função no ponto 3:**Substituímos
na função:
b) **Taxa de variação instantânea (derivada da função):**A derivada de \( f(x) \) é calculada como:
Usando a regra da cadeia para a derivada de
:
A derivada de
é
, e a derivada de uma constante é zero.Portanto, a derivada da função é:
c) **Valor da derivada no ponto 3:**Substituímos
na derivada:
d) **Derivada segunda da função:**Calculamos a derivada da primeira derivada \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2 \):A derivada de
é:
A derivada de
é zero.Portanto, a derivada segunda é:
e) **Valor da derivada segunda no ponto 3:**Substituímos
na derivada segunda:
Resumindo:a) \( f(3) = 0 \)b) \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2 \)c) \( f'(3) = -\frac{7}{4} \)d) \( f''(x) = \frac{-1}{4(x+1)\sqrt{x+1}} \)e) \( f''(3) = \frac{-1}{32} \)