12) int_(0)(x^2+y^2+z^2) d x, c: x=t ; y=cos 2 t, z=operatorname(sen) 2 t: 0 leq t leq 2 pi

Question

Answer 1

Para resolver a integral dada, podemos usar a substituição de coordenadas. A integral é dada por:

onde

, \( y = \cos(2t) \), e \( z = \sin(2t) \) para

.Primeiro, vamos expressar

em termos de

:

Portanto, a expressão

se torna:

Usando a identidade trigonométrica \( \cos^2(2t) + \sin^2(2t) = 1 \), obtemos:

Agora, podemos reescrever a integral em termos de

:

Podemos dividir essa integral em duas integrais separadas:

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.Para a primeira integral:

Usando a fórmula da integral de potência, temos:

Aplicando os limites de integração de 0 a

:

Para a segunda integral:

A integral de uma constante é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo de integração:

Aplicando os limites de integração de 0 a

:

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Portanto, a resposta final é:

Question