) Demonstrar por "indução matemática". 6vert (n^3-n) forall nin N

Para demonstrar por indução matemática que \(6 \mid (n^3 - n)\) para todo , vamos seguir os passos da prova por indução.### Passo 1: Base da induçãoVerificamos a afirmação para : Claramente, , então a base da indução é verdadeira.### Passo 2: Passo da induçãoSupomos que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja, \(6 \mid (k^3 - k)\). Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para , ou seja, \(6 \mid ((k+1)^3 - (k+1))\).Primeiro, expandimos \((k+1)^3 - (k+1)\): Agora, fatoramos da expressão: Fatoramos o trinômio : Portanto, temos: Sabemos que \(k(k + 1)(k + 2)\) é um produto de três números consecutivos, e pelo menos um desses números é divisível por 2, e pelo menos um é divisível por 3. Assim, o produto é divisível por 6.Portanto, \(6 \mid k(k + 1)(k + 2)\), e, por transmissão, \(6 \mid (k^3 + 3k^2 + 2k)\).### ConclusãoPelo princípio de indução matemática, a afirmação \(6 \mid (n^3 - n)\) é verdadeira para todo .