7) Uma particula se move num sistema de coordenadas cartesianas (x,y),x,y ? 0 em relação ao tempo t segundo as equaçóes paramétricas: ) x(t)=((t)/(4))^(1)/(3) y(t)=((t)/(9))^{(1)/(2) Considerando as informaçbes apresentadas, analise as affirmaçbes a seguir 1. Ovetor velocidade da particula no instante t_(0)=(1)/(2) e dado por (2,(sqrt (2))/(6)) 11. A particula se move nesse sistema de coordenadas segundo uma curva parabólica. III. A distância percorrida pela particula no intervalo 0leqslant tleqslant 4 é igual a (2)/(3)(2sqrt (2)-1) IV. Se um campo de forças overrightarrow (F)(x,y)=(2xy,x^2) atua sobre o plano em que a particula se desloca, entǎo o trabaliho realizado por essa particula no intervalo 0leqslant tleqslant 4 é igual a (3)/(2) f correto APENAS o que se afirma em: Alternativas: a) le III. b) IIe IV. c) 1,11 e III. d) 1, the IV. e) 1,11, III e IV.

Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das afirmações apresentadas:1. O vetor velocidade da partícula no instante é dado por .Para calcular o vetor velocidade, precisamos derivar as equações paramétricas em relação ao tempo e substituir .Derivando as equações paramétricas em relação a , temos: Substituindo , temos: Portanto, o vetor velocidade da partícula no instante é dado por . A afirmação I está correta.11. A partícula se move nesse sistema de coordenadas segundo uma curva parabólica.Para determinar a forma da curva traçada pela partícula, podemos eliminar o parâmetro das equações paramétricas e obter a equação da curva em termos de e .Eliminando o parâmetro , temos: Elevando ambos os lados das equações à terceira potência e ao quadrado, respectivamente, temos: Isso implica que a equação da curva traçada pela partícula é uma curva parabólica. A afirmação II está correta.III. A distância percorrida pela partícula no intervalo é igual a .Para calcular a distância percorrida pela partícula, precisamos calcular a integral da norma do vetor velocidade em relação ao tempo no intervalo dado.A norma do vetor velocidade é dada por: Substituindo as derivadas parciais, temos: Calculando a integral dessa expressão em relação a no intervalo , temos: Portanto, a afirmação III está correta.IV. Se um campo de forças atua sobre o plano em que a partícula se desloca, então o trabalho realizado por essa partícula no intervalo é igual a .Para calcular o trabalho realizado pela partícula, precisamos calcular a integral do produto do vetor força e do vetor deslocamento em relação ao tempo no intervalo dado.O vetor força é dado por e o vetor deslocamento é dado por .O trabalho realizado pela partícula é dado por:$W = \int_0^4 \overrightarrow{F} \