Question
Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 ,com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva?Por quê?
Solution
4.5
(261 Votos)
Marília
Mestre · Tutor por 5 anos
Resposta
Para resolver essas questões, vamos analisar a transformação linear
dada por \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \).### a) Núcleo de
O núcleo de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em
que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) em
. Em outras palavras, precisamos encontrar todos os \( (x, y, z) \) tais que \( L(x, y, z) = (0, 0) \).Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), temos:
Resolvendo o sistema de equações:1. Da primeira equação:
, temos
.2. Da segunda equação:
, temos
.Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça
e
estará no núcleo de
.Em termos de vetores, o núcleo de
é:
### b) Injetividade de
Para determinar se
é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em
tem uma imagem única em
. Ou seja, devemos verificar se a equação \( L(x, y, z) = (u, v) \) tem uma solução única para cada \( (u, v) \) em
.Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), temos:
Resolvendo para
e
:1. Da primeira equação:
.2. Substituindo
na segunda equação: \( 2(u - y) + 3z = v \)
.Portanto, para cada \( (u, v) \) em
, existe um vetor \( (x, y, z) \) em
tal que \( L(x, y, z) = (u, v) \). Isso significa que
é injetiva.### Conclusãoa) O núcleo de
é:
b)
é injetiva porque cada vetor em
tem uma imagem única em
.