Question
que 7.(Unicamp -SP)Considere o número complexo z=(1+ai)/(a-i) onde a é um número real e iea unidade imaginária , isto é, i^2=-1.0 valorde Z^2016 é igual a: a) a^2016 c) 1+2016i b) 1. d) dot (j)
Solution
4.5
(186 Votos)
Julia Maria
Elite · Tutor por 8 anos
Resposta
Para resolver essa questão, vamos primeiro simplificar a expressão do número complexo
.Dado que
, podemos multiplicar o numerador e o denominador por
(o conjugado do denominador) para simplificar:
Calculando o numerador:
Como
:
Calculando o denominador:
Portanto, o número complexo
é:
Agora, precisamos calcular
. Para isso, é útil encontrar a forma polar de
.
Podemos escrever
em forma polar:
onde
é o módulo de
e
é o argumento de
.O módulo
é:
O argumento
é:
Portanto,
em forma polar é:
Para calcular
, usamos a propriedade dos expoentes:
O módulo se torna um número real muito pequeno, enquanto o argumento se torna um múltiplo de
:
Portanto, o valor de
é:
Como \( \left(\frac{\sqrt{a^4 + 1}}{a^2 + 1}\right) \) é um número muito pequeno, elevado a 2016, ele se aproxima de zero.Portanto, a resposta correta é:b) 1.