cálculo de integrais em regioes do tipo circular pode ser feito por meio das coordenadas polares. Assim faz-se necessário fazer corretamente a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Deseja-se calcular a integral da função f(x,y)=(x^2+y^2) sobre a região D limitada por 0leqslant rleqslant 2,0leqslant Theta leqslant 2pi . Assinale a alternativa que contém o resultado da integral apresentada. A. -8pi B. 4pi 10pi 6pi 2pi

Para calcular a integral da função \( f(x, y) = (x^2 + y^2) \) sobre a região limitada por e , podemos usar as coordenadas polares.Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As coordenadas polares são dadas por:\( x = r \cos(\Theta) \)\( y = r \sin(\Theta) \)Substituindo essas expressões na função \( f(x, y) \), temos:\( f(r, \Theta) = (r \cos(\Theta))^2 + (r \sin(\Theta))^2 \)\( f(r, \Theta) = r^2 \cos^2(\Theta) + r^2 \sin^2(\Theta) \)\( f(r, \Theta) = r^2 (\cos^2(\Theta) + \sin^2(\Theta)) \)\( f(r, \Theta) = r^2 \)Agora, podemos calcular a integral usando as coordenadas polares: Primeiro, integramos em relação a : Agora, integramos em relação a : Portanto, a resposta correta é:B.