arrow R^2 dada por B(x,y,z)=(-3x+2y,2x-y) é uma inversa à esque 4. Determine o núcleo e aimagem da aplicação linear T: R^3arrow R^2 definida T(x,y,z)=(x-y,y-z) 5. Prove que a transformação linear T: R^2arrow R^3 dada por T(x,y)=(x+2y,x+y,x-y) é injetiva.

Para resolver as questões, vamos abordá-las uma de cada vez:### 4. Núcleo e imagem da aplicação linear T: definida por \( T(x,y,z) = (x-y, y-z) \)**Núcleo de T:**O núcleo de uma aplicação linear é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) tal que \( T(x, y, z) = (0, 0) \).Para encontrar o núcleo, resolvemos o sistema de equações: Isso implica que: Resolvendo essas equações, obtemos: Portanto, .Isso significa que o núcleo de é o conjunto dos vetores que são múltiplos de \( (1, 1, 1) \): **Imagem de T:**A imagem de é o conjunto de todos os vetores \( (a, b) \) tal que existe algum vetor \( (x, y, z) \) em que \( T(x, y, z) = (a, b) \).Para encontrar a imagem, consideramos as equações: Resolvendo essas equações para e , obtemos: Portanto, qualquer vetor \( (a, b) \) pode ser alcançado se for qualquer número real. Assim, a imagem de é todo o plano : ### 5. Provar que a transformação linear T: dada por \( T(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \) é injetiva.Uma transformação linear é injetiva se e somente se é uma bijetora, ou seja, é sobejeto e injetora.**Sobejeto:**Para verificar se é sobejeto, precisamos verificar se todo o espaço é coberto pela imagem de . Ou seja, precisamos mostrar que para qualquer vetor \( (a, b, c) \) em , existe um vetor \( (x, y) \) em tal que \( T(x, y) = (a, b, c) \).Considere o sistema de equações: Resolvendo esse sistema, somamos as duas primeiras equações: Resolvendo a terceira equação: Substituindo na primeira equação: Substituindo na segunda equação: Portanto, para qualquer vetor \( (a