Demonstrar por "indução matemática": 2vert (3^n-1)

Para demonstrar a expressão \(2\vert (3^{n}-1)\) por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.Passo 1: Base da induçãoQueremos mostrar que a expressão é verdadeira para . Substituindo na expressão, temos:\(2\vert ( 2\vert (3-1) = 2\vert 2\)Como é divisível por , a expressão é verdadeira para .Passo 2: Passo da induçãoAgora, vamos assumir que a expressão é verdadeira para algum valor , ou seja, \(2\vert (3^{k}-1)\). Queremos mostrar que a expressão também é verdadeira para , ou seja, \(2\vert (3^{k+1}-1)\).Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação \(2\vert (3^{k}-1)\) por :\(2 \cdot 3 \vert (3^{k}-1) \cdot 3\)Simplificando, temos:\(6 \vert (3^{k+1}-3)\)Como é um múltiplo de , podemos escrever como \(3(3^{k}-1)\). Portanto, temos:\(6 \vert 3(3^{k}-1)\)Como é divisível por , podemos concluir que \(2\vert (3^{k+1}-1)\).Portanto, a expressão \(2\vert (3^{n}-1)\) é verdadeira para se for verdadeira para .Concluímos que a expressão \(2\vert (3^{n}-1)\) é verdadeira para todos os valores inteiros de .