Seja T:R^3arrow R^3 uma transformação linear tal que T(x,y,z)=(z,x-y_(1)-z) . Dentre as alternativas abaixo, assinale o que for correto. Escolha uma ou mais: Té injetora Té sobrejetora. dim(N(T))=1edim(lm(T))=2 Uma base para N(T') é dada por (1,1,0)

Vamos analisar cada uma das alternativas para determinar quais são corretas.1. **Té injetora**: Uma transformação linear é injetora se o seu núcleo \( N(T) \) é trivial, ou seja, \( N(T) = \{ (0,0,0) \} \). Para encontrar o núcleo de , resolvemos \( T(x, y, z) = (0, 0, 0) \): Isso implica que: Como , a segunda equação se torna , ou seja, . Portanto, o núcleo de é: O núcleo não é trivial, então não é injetora.2. **Té sobrejetora**: Uma transformação linear é sobrejetora se o seu imagem \( \text{Im}(T) \) é igual ao espaço de destino . Para encontrar a imagem de , consideramos todos os vetores \( (a, b, c) \) que podem ser escritos como \( T(x, y, z) \): Para que \( (a, b, c) \) esteja na imagem de , deve existir algum \( (x, y, z) \) tal que: Isso implica que: Substituindo na segunda equação, temos: Portanto, para qualquer \( (a, b, c) \) em , existe um \( (x, y, z) \) tal que \( T(x, y, z) = (a, b, c) \). Assim, a imagem de é todo , e é sobrejetora.3. **\( \dim(N(T)) = 1 \) e \( \dim(\text{lm}(T)) = 2 \)**: Já determinamos que \( N(T) = \{ (x, x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \} \), que é um subespaço de dimensão 1. Portanto, \( \dim(N(T)) = 1 \). Já vimos que a imagem de é todo , então \( \dim(\text{lm}(T)) = 3 \). Portanto, esta afirmação está incorreta.4. **Uma base para \( N(T') \) é dada por \( \{ (1, 1, 0) \} \)**: é a transformação adjunta de . Para encontrar \( N(T') \), consideramos o núcleo de , que é \( \{ (x, x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \} \). Uma base para este núcleo é \( \{ (1, 1, 0) \} \).Portanto, as alternativas corretas são:- Té sobrejetora- Uma base para \( N(T') \) é dada por \( \{ (1, 1, 0) \} \)