Question
15-18 Utilize a integral dupla para determinar a área da região. 15. Um laço da rosácea r=cos3Theta
Solution
4.1
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Antonio
Elite · Tutor por 8 anos
Resposta
Para determinar a área da região dada pelo laço da rosácea \( r = \cos(3\theta) \) usando a integral dupla, podemos seguir os seguintes passos:1. **Definir a região de integração**: O laço da rosácea é uma curva polar. Para \( r = \cos(3\theta) \), precisamos determinar os limites de
e
.2. **Limites de
**: Como \( r = \cos(3\theta) \), o valor máximo de
ocorre quando \( \cos(3\theta) = 1 \). Isso acontece quando
ou múltiplos de
. Portanto,
varia de 0 a
para um período completo do laço.3. **Limites de
**: Para \( r = \cos(3\theta) \),
varia de 0 a 1.4. **Integral dupla**: A área
da região é dada pela integral dupla:
5. **Calcular a integral interna**:
6. **Calcular a integral externa**:
Portanto, a área da região é: