Question
4. Determine o núcleo e aimagem da aplicação linear T:R^3arrow R^2 definida por T(x,y,z)=(x-y,y-z)
Solution
4.1
(283 Votos)
Reinaldo
Mestre · Tutor por 5 anos
Resposta
Para determinar o núcleo e a imagem da aplicação linear
definida por \( T(x, y, z) = (x - y, y - z) \), vamos seguir os passos:### Núcleo de
O núcleo de
, denotado por \( \ker(T) \), é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em
que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) sob
. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Isso significa que:
Resolvendo as equações:1.
2.
Portanto,
. Isso implica que o núcleo de
é gerado pelo vetor \( (1, 1, 1) \). Assim, o núcleo de
é:
### Imagem de
A imagem de
, denotada por \( \text{Im}(T) \), é o conjunto de todos os vetores \( (u, v) \) em
que podem ser obtidos como \( T(x, y, z) \) para algum \( (x, y, z) \) em
. Para encontrar a imagem, consideramos as combinações lineares dos vetores resultantes de
:
Podemos expressar \( (x - y, y - z) \) como uma combinação linear de vetores resultantes de
:
onde \( (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3) \) são vetores de
e
são escalares.Isso implica que a imagem de
é o espaço gerado por vetores resultantes de
. Considerando que
é linear e que
mapeia
para
, a imagem de
cobre todo o plano
.Portanto, a imagem de
é:
### Resumo- O núcleo de
é o subespaço gerado por \( (1, 1, 1) \).- A imagem de
é todo o plano
.Assim, temos: