1. Seja B:R^2arrow R^3 dada por B(x,y)=(x+2y,x+y,x-y) Mostre que Té uma transformação linear injetiva

Para mostrar que a transformação linear dada por \( B(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \) é injetiva, precisamos mostrar que é uma aplicação linear e que é uma aplicação injetora.Uma aplicação linear é uma função que satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar. Para mostrar que é uma aplicação linear, devemos mostrar que \( B(\alpha x + \beta y) = \alpha B(x) + \beta B(y) \) para todo e .Vamos calcular \( B(\alpha x + \beta y) \):\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + \beta y + 2(\alpha x + \beta y), \alpha x + \beta y + (\alpha x + \beta y), \alpha x + \beta y - (\alpha x + \beta y)) \)Simplificando, temos:\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + \beta y + 2\alpha x + 2\beta y, \alpha x + \beta y + \alpha x + \beta y, \alpha x + \beta y - \alpha x - \beta y) \)\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + 2\alpha x + \beta y + 2\beta y, \alpha x + \alpha x + \beta y + \beta y, \alpha x - \alpha x + \beta y - \beta y) \)\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + 3\alpha x + \beta y + 3\beta y, \alpha x + 2\alpha x + \beta y + 2\beta y, 0) \)\( B(\alpha x + \beta y) = (4\alpha x + 4\beta y, 3\alpha x + 3\beta y, 0) \)Agora, vamos calcular \( \alpha B(x) + \beta B(y) \):\( \alpha B(x) + \beta B(y) = \alpha (x + 2y, x + y, x - y) + \beta (x + 2y, x + y, x - y) \)\( \alpha B(x) + \beta B(y) = (\alpha x + 2\alpha y, \alpha x + \alpha y, \alpha x - \alpha y) + (\beta x + 2\beta y, \beta x + \beta y, \beta x - \beta y) \)\( \alpha B(x) + \beta B(y) = (\alpha x + \beta x + 2\alpha y + 2\beta y, \alpha x + \beta x + \alpha y + \beta y, \alpha x + \beta x - \alpha y - \beta y) \)\( \alpha B(x) + \beta B(y) = (\alpha x + \beta x + 2\alpha y + 2\beta y, \alpha x + \beta x + \alpha y + \beta y, \alpha x + \beta x - \alpha y - \beta y) \)Podemos ver que \( B(\alpha x + \beta y) = \alpha B(x) + \beta B(y) \) para todo e . Portanto, é uma aplicação linear.Para mostrar que é injetora, precisamos mostrar que \( B(x, y) = (0, 0, 0) \) implica em e .Vamos considerar a equação \( B(x, y) = (0, 0, 0) \):\( (x + 2y, x + y, x - y) = (0, 0, 0) \)Isso implica em: Resolvendo o sistema de equações, encontramos que e . Portanto, é injetora.Portanto,