53. Encontre o limite utilizando a regra de L'Hôpital: lim _(xarrow 0)(ln(1+x))/(x) 54. Encontre a derivada implícita da equação x^3+y^3=6xy 55. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x)=e^x-2x 56. Encontre o limite utilizando a regra de L'Hôpital: lim _(xarrow 0^+)(x^x)/(x) 57. Um recipiente cônico é esvaziado a uma taxa de 2 metros cúbicos por minuto. A que taxa o raio da superficie da água está diminuindo quando a altura da água é de 5 metros e a altura total do cone é 10 metros com raio da base de 3 metros? 58. Utilize a regra de L'Hôpital para calcular o limite: lim _(xarrow 0)(x^2-2x)/(x-sin(x)) 59. Encontre os pontos de inflexão da função f(x)=x^3-3x^2+4 60: Um raio de luz é emitido a partir de um ponto fixo e forma uma sombra em uma parede plana. A que taxa a sombra está se movendo quando o raio de luz está a. 10 metros do ponto fixo e a fonte de luz está se afastando a uma taxa de 3 metros por segundo?

53. Para encontrar o limite utilizando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite da razão das derivadas.

$$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {ln(1+x)}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac {\frac{1}{1+x}}{1} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x} = 1$$

54. Para encontrar a derivada implícita da equação $$x^{3}+y^{3}=6xy$$ , podemos derivar ambos os lados da equação em relação a $$x$$ :

$$3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=6y+6x\frac{dy}{dx}$$

Agrupando os termos com $$\frac{dy}{dx}$$ :

$$3y^{2}\frac{dy}{dx}-6x\frac{dy}{dx}=6y-3x^{2}$$

Fatorando $$\frac{dy}{dx}$$ :

$$\frac{dy}{dx}(3y^{2}-6x)=6y-3x^{2}$$

Dividindo ambos os lados por $$3y^{2}-6x$$ :

$$\frac{dy}{dx}=\frac{6y-3x^{2}}{3y^{2}-6x}$$

55. Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função $$f(x)=e^{x}-2x$$ , podemos encontrar a derivada da função e analisar o sinal da derivada:

$$f'(x)=e^{x}-2$$

Quando $$f'(x)>0$$ , a função está crescendo, e quando $$f'(x)<0$$ , a função está decrescendo. Portanto, a função está crescendo quando $$e^{x}-2>0$$ , ou seja, quando $$x>\ln(2)$$ . A função está decrescendo quando $$e^{x}-2<0$$ , ou seja, quando $$x<\ln(2)$$ .

56. Para encontrar o limite utilizando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite da razão das derivadas.

$$\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\frac {x^{x}}{x} = \lim _{x\rightarrow 0^{+}}\frac {x^{x}\ln(x)}{1} = \lim _{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}\ln(x) = 0$$

57. Para determinar a taxa de diminuição do raio da superfície da água, podemos usar a fórmula do volume de um cone e a relação entre o raio e a altura.

O volume de um cone é dado por $$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$ , onde $$r$$ é o raio da base e $$h$$ é a altura. Se o volume está diminuindo a uma taxa de 2 metros cúbicos por minuto, então $$\frac{dV}{dt}=-2$$ .

A relação entre o raio e a altura em um cone é dada por $$r=\frac{h}{3}$$ . Substituindo essa relação na fórmula do volume, temos $$V=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{3}\right)^{2}h=\frac{1}{27}\pi h^{3}$$ .

Derivando ambos os lados em relação ao tempo $$t$$ , temos $$\frac{dV}{dt}=\frac{1}{9}\pi h^{2}\frac{dh}{dt}$$ . Substituindo $$\frac{dV}{dt}=-2$$ , temos $$-2=\frac{1}{9}\pi h^{2}\frac{dh}{dt}$$ .

Simplificando, temos $$\frac{dh}{dt}=-\frac{18}{\pi h^{2}}$$ . Quando $$h=5$$ , temos $$\frac{dh}{dt}=-\frac{18}{25\pi}$$ .

58. Para encontrar o limite utilizando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite da razão das derivadas.

$$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {x^{2}-2x}{x-\sin(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac {2x-2}{1-\cos(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{2}{1} = 2$$

59. Para encontrar os pontos de inflexão da função $f(x)=x^{3}-