Exercício 6.7 Considere o espaço vetorial R^4 munido do produto interno usual e V subespaça vetorial gerado pelos elementos w_(1)=(1,-1,0,1) e w_(2)=(-1,0,1,1 Sejam P o operador de projeção ortogonal sobre o subespaço W e R o operador reflexão sobre o subespaço W. Pede-se: (a) Determine os autovalores e os autovetores do operador P. (b) Determine os autovalores e os autovetores do operador R.

Para resolver o exercício, precisamos entender como funcionam os operadores de projeção ortogonal e reflexão em um subespaço vetorial.(a) **Autovalores e autovetores do operador :**O operador de projeção ortogonal sobre um subespaço tem as seguintes propriedades:1. Se , então \( P(v) = v \). Portanto, qualquer vetor em é um autovetor de com autovalor 1.2. Se , então \( P(v) = 0 \). Portanto, qualquer vetor ortogonal a é um autovetor de com autovalor 0.Dado que é gerado por \( w_1 = (1, -1, 0, 1) \) e \( w_2 = (-1, 0, 1, 1) \), podemos encontrar uma base ortonormal para usando o processo de Gram-Schmidt, mas para determinar os autovalores, basta saber que:- Os autovalores de são 1 e 0.- Os autovetores associados ao autovalor 1 são combinações lineares de e .- Os autovetores associados ao autovalor 0 são aqueles ortogonais a .(b) **Autovalores e autovetores do operador :**O operador de reflexão sobre um subespaço tem as seguintes propriedades:1. Se , então \( R(v) = v \). Portanto, qualquer vetor em é um autovetor de com autovalor 1.2. Se , então \( R(v) = -v \). Portanto, qualquer vetor ortogonal a é um autovetor de com autovalor -1.Assim, para o operador :- Os autovalores são 1 e -1.- Os autovetores associados ao autovalor 1 são os mesmos que para , ou seja, combinações lineares de e .- Os autovetores associados ao autovalor -1 são aqueles ortogonais a .Para encontrar explicitamente os autovetores ortogonais a , pode-se completar a base de para uma base de e usar o produto interno para garantir a ortogonalidade.