Pr int cos(x)ln(sen(x))dx int _(0)^pi /3tcos(t)dt int sen^5(t)cos(t)dt

Para resolver a integral \(\int \cos(x) \ln(\sin(x)) \, dx\), podemos usar integração por partes. Vamos escolher \(u = \ln(\sin(x))\) e \(dv = \cos(x) \, dx\). Então, \(du = \frac{1}{\sin(x)} \cos(x) \, dx = \cot(x) \, dx\) e \(v = \sin(x)\).Aplicando a fórmula de integração por partes , temos: Sabemos que \(\sin(x) \cot(x) = \cos(x)\), então a integral se simplifica para: A integral de \(\cos(x)\) é \(\sin(x)\), então temos: onde é a constante de integração.Para resolver a integral \(\int_{0}^{\pi/3} t \cos(t) \, dt\), podemos usar integração por partes. Vamos escolher e \(dv = \cos(t) \, dt\). Então, e \(v = \sin(t)\).Aplicando a fórmula de integração por partes , temos: Calculando os limites de \(t \sin(t)\) de 0 a : A integral de \(\sin(t)\) de 0 a é \(-\cos(t)\) de 0 a : Portanto, a integral é: Para resolver a integral \(\int \sin^5(t) \cos(t) \, dt\), podemos usar integração por partes. Vamos escolher \(u = \sin^5(t)\) e \(dv = \cos(t) \, dt\). Então, \(du = 5 \sin^4(t) \cos(t) \, dt\) e \(v = \sin(t)\).Aplicando a fórmula de integração por partes , temos: Simplificando, temos:\[\int \sin^5(t) \cos(t) \, dt = \sin^6(t) - 5 \int \sin^5(t) \cos^2(t) \, dt