log_(5)[(x-1)cdot (x+3)]=1 log_(5)(x-1)+log_(5)(x+3)=1

Para resolver a equação \( \log_{5}[(x-1)\cdot (x+3)]=1 \), podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.Aplicando essa propriedade, temos:\( \log_{5}[(x-1)\cdot (x+3)] = \log_{5}(x-1) + \log_{5}(x+3) \)Agora, podemos substituir essa expressão na equação original:\( \log_{5}(x-1) + \log_{5}(x+3) = 1 \)Para resolver essa equação, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de dois logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos.Aplicando essa propriedade, temos:\( \log_{5}[(x-1)\cdot (x+3)] = 1 \)Agora, podemos reescrever a equação em forma exponencial:\( 5^1 = (x-1)\cdot (x+3) \)Simplificando, temos:\( 5 = (x-1)\cdot (x+3) \)Para resolver essa equação quadrática, podemos usar o método de fatoração, completar o quadrado ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, a fatoração é a opção mais simples:\( 5 = (x-1)\cdot (x+3) \) Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação quadrática: Onde a = 1, b = 2 e c = -8.Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} \) Portanto, as soluções para a equação são: No entanto, é importante verificar se essas soluções são válidas para a equação original. Substituindo na equação original, temos:\( \log_{5}[(2-1)\cdot (2+3)] = 1 \)\( \log_{5}(1\cdot 5) = 1 \)\( \log_{5}(5) = 1 \)Que é verdadeiro.Substituindo na equação original, temos:\( \log_{5}[( -4-1)\cdot (-4+3)] = 1 \)\( \log_{5}(-5\cdot -1) = 1 \)\( \log_{5}(5) = 1 \)Que também é verdadeiro.Portanto, ambas as soluções são válidas para a equação original.