Uma placa metálica circular com um metro de raio está colocada com centro na origem do plano xy e é aquecida de modo que a temperatura num ponto (x,y) é dada por T(x,y)=64(3x^2-2xy+3y^2+2y+5) graus, onde x e y estão em metros . Encontre a maior e a menor temperatura na placa.

Para encontrar a maior e a menor temperatura na placa, precisamos analisar a função de temperatura fornecida: Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função, podemos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos.Derivando em relação a x: Derivando em relação a y: Resolvendo essas equações simultaneamente, encontramos o ponto crítico: Resolvendo o sistema, encontramos que o ponto crítico é .Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, podemos calcular a segunda derivada: Usando a matriz Hessiana: Calculando o determinante: Como o determinante é positivo e a segunda derivada em x é positiva, o ponto crítico é um mínimo.Para encontrar a maior temperatura, podemos calcular o valor máximo da função em uma fronteira da placa. Como a placa é circular, podemos calcular a temperatura ao longo de um círculo de raio 1 metro centrado na origem: Substituindo na função de temperatura: Para encontrar o valor máximo, podemos usar métodos numéricos ou software de otimização. No entanto, podemos observar que a temperatura será máxima quando e , o que ocorre no ponto .Portanto, a maior temperatura na placa é encontrada no ponto e a menor temperatura é encontrada no ponto .