8) Um fabricante possui uma encomenda de 2 .000 unidades de pneus para quadriciclos, que podem ser produzidos em dois locais . Assuma que x e y sejam os números de unidades produzidas nas duas fabricas. A função de custo é modelada por C=0,25x^2+10x+0,15y^2+12y Determine quantas unidades devem ser produzidas em cada fabrica de forma a minimizar o custo.

Para minimizar o custo, precisamos encontrar os valores de x e y que tornem a função de custo C mínima. Para isso, podemos utilizar o método dos mínimos locais, que consiste em encontrar os pontos onde as derivadas parciais de C em relação a x e y são iguais a zero.Derivando C em relação a x, temos: Derivando C em relação a y, temos: Igualando as derivadas parciais a zero, temos: Resolvendo essas equações, encontramos: No entanto, esses valores negativos não fazem sentido no contexto do problema, pois não podemos produzir unidades negativas. Portanto, precisamos verificar se há outros pontos que possam ser considerados.Podemos observar que a função de custo é uma função quadrática, o que significa que ela possui um valor mínimo. Para encontrar esse valor mínimo, podemos utilizar o método de completar o quadrado.Reescrevendo a função de custo, temos: Completando o quadrado, temos: Simplificando, temos: Podemos observar que o valor mínimo da função de custo ocorre quando x + 20 = 0 e y + 40 = 0, ou seja, quando x = -20 e y = -40. No entanto, como mencionado anteriormente, esses valores negativos não fazem sentido no contexto do problema.Portanto, precisamos encontrar outros pontos que possam ser considerados. Uma maneira de fazer isso é utilizar a restrição de que a soma de x e y deve ser igual a 2000 unidades. Isso pode ser feito substituindo y por 2000 - x na função de custo e resolvendo a equação resultante.Substituindo y por 2000 - x na função de custo, temos: Simplificando, temos: Para encontrar o valor mínimo dessa função, podemos utilizar o método dos mínimos locais, igualando as derivadas parciais a zero: Resolvendo essa equação, encontramos: Substituindo esse valor de x na restrição de que a soma de x e y deve ser igual a 2000 unidades, temos: Resolvendo essa equação, encontramos: Portanto, para minimizar o custo, o fabricante deve produzir aproximadamente 745,5 unidades na primeira fábrica e 1254,5 unidades na segunda fábrica.