Exemplo 2. 0 lucro de uma fabrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x)=-5x^2+100x-80 , onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: a) 0 lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.

Para determinar o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos, precisamos encontrar o valor máximo da função de lucro \(L(x) = -5x^2 + 100x - 80\).A função de lucro é uma função quadrática, e seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente do termo é negativo, a parábola é voltada para baixo, indicando que o lucro máximo ocorre no vértice da parábola.Para encontrar o vértice de uma parábola dada por uma função quadrática , podemos usar a fórmula .No caso da função \(L(x) = -5x^2 + 100x - 80\), temos e . Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:\(x = -\frac{100}{2(-5)} = \frac{100}{10} = 10\)Portanto, o número de produtos que maximiza o lucro é .Agora, podemos substituir esse valor de na função \(L(x)\) para encontrar o lucro máximo:\(L(10) = -5(10)^2 + 100(10) - 80 = -5(100) + 1000 - 80 = -500 + 1000 - 80 = 420\)Portanto, o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos é de 420 reais.